Mesdames, messieurs;
Pour tout savoir sur les suites arithémético-géométriques (uo donné et u(n+1) = a u(n) + b), consulter (un crayon à la main):
https://fr.wikipedia.org/wiki/
Bon samedi & bien à vous. N.V.
Déterminer l'original de f(z) = 1/(z^2-2).
On décompose la fraction selon:
f(z) = A/(z-rac(2)) + B/(z+ rac(2)). On trouve A= rac(2)/4 et B = -A.
Ensuite l'original de z/(z- rac(2)) est rac(2)^n U(n) donc l'original de 1/(z-rac(2)) est rac(2)^(n-1) U(n-1) (th. du retard). De même pour l'autre fraction élémentaire.
Il en résulte que l'original de f est (toutes simplifications faites):
rac(2)/ 4 fois (rac(2)^(n-1) + (-rac(2))^n) U(n-1)
Bon travail, ce jeudi 15 novembre 2012. N.V.
Quelle est la transformée en z de la suite n^2 U(n)?
On sait que la transformée de n x_n est - z fois la dérivée de la transformée de x_n (propriété du cours).
si x_n = 1, on sait que la transformée est z/(z-1) (nous ne rappelons pas ici les conditions) on a déduit en cours que la transfomée de n est : z/(z-1)^2.
On en déduit donc (toujours avec la même propriété) que la transfomée de n^2 est - z fois la dérivée de z/(z-1)^2.
Après quelques menus calculs, on trouve que: la transformée recherchée est: [z(z+1)]/(z-1)^3.
AInsi on peut continuer et calculer les transformées de n^3, n^4, ....
Conseil : dans la rubrique "semestre 3", vous pouvez trouver plein d'autres exercices (provenant d'années antérieures) sur la transformée en z, transformée de Fourier, ... c'est à consulter!
Bon travail et bien à vous. N.V.
Bonjour à tous et meilleurs voeux 2008;
Ci-joint une discussion autour d'un petit exercice de probabilité élémentaire, histoire de ne pas perdre la main :
cf. http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?12,414068,414073#msg-414073
Bien à vous. NV, Pau (Ousse des Bois), le 02 janvier 2008
Enoncé : Dans un groupe de 40 personnes, quelle est la probabilité pour que deux personnes aient au moins le même jour anniversaire ?
Solution : Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires#D.C3.A9monstration
Pour 40 personnes, il est donc fortement probable pour que cette situation se réalise.
Un intervenant du forum "Les mathématiques.net" cherche à maximiser ou minimiser la fonction :
f(x,y) =x exp((-x^2 - y^2)/2). Pouvez-vous l'aider en intervenant sur le forum à l'adresse :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,411703,411801#msg-411801
Bien à vous. NV
Exercice :
a) Soit g(x,y) = xy/(x+y). Calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elle vérifie l'équation aux dérivées partielles : (E) f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2
b) Montrer que les solutions de (E) sont obtenues en sommant g aux solutions de l'équation homogène
(E0) : f'x + f'y = 0
c) Grâce au changement de variables u = x - y et v = x montrer que (E0) est équivalente à F'v = 0 avec F(u,v) = f (x(u,v), y(u,v)). Achever la résolution de (E0) puis de (E).
Eléments de correction :
a) Elémentaire.
b) soit f une solution de (E), il vient : f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2 de plus g vérifie aussi (E) donc
g'x + g'y = 1 - 2xy/(x+y)^2. En soustrayant, il vient f'x + f'y - (g'x + g'y ) = 0 soit
(f-g)'x + (f-g)'y = 0. Autrement dit f-g est solution de (E0). Réciproquement et pour des raisons similaires si j'ajoute g à une solution de (E0) j'obtiens bien une solution de (E). CQFD.
c) F'v = f'x x'v + f'y y'v (théorème de dérivation dans le cadre d'un changement de variables) soit :
F'v = f'x 1 + f'y 1 = f'x + f'y (car x = v d'où x'v = 1 et y = x-u = v- u d'où y'v = 1)
Donc (E0) est équivalente à : F'v = 0.
F'v = 0 d'où F(u,v) = a(u) donc f(x,y) = a (x-y) donc les solutions de (E) sont de la forme :
a(x-y) + xy/(x+y).
Exercice : déterminer les lignes de niveau de la surface d'équation z = 2 x^2 + y^2.
Solution : Il s'agit de déterminer l'intersection avec des plans "de hauteur k"
Soit k = 2 x^2 + y^2. Si k est strictement négatif c'est impossible; sinon c'est une ellipse pour laquelle : a = racine(k/2) et b = racine(k).
Remarque : Il est d'ailleurs aisé de déterminer la forme de cette surface. "De face" (x=0) on voit "une parabole élémentaire"; de côté, une parabole d'équation z = 2 x^2. Globalement, il s'agit d'un "cône elliptique s'appuyant" à hauteur 1 sur l'ellipse d'équation 1 = 2 x^2 + y^2.