Une dérivée

Exercice : Calculer la dérivée de f définie par :

f(x) = ln(V(1+x^2))

Notation : V(A) = racine de A.

a) Justification de la dérivabilité

Ici f est définie sur R car l'expression sous le log est > 0. Elle est également dérivable sur R car c'est une composition de fonctions :

f(x) = f1(f2(x)) où f2(x) = (V(1+x^2)) et f1(x) = lnx.

f2 va de R dans R*+ et elle est dérivable sur R (composée de fonctions élémentaires dérivables sur R). De plus f1 est dérivable sur R*+ donc par composition f est dérivable sur R.

b) Calcul de la dérivée

Comme f(x) = ln(1+x^2)/2 il vient que :

f'(x) = 2x/(1+x^2)/2 = x/(1+x^2)