Une intégrale triple

Exercice : Intégrer f(x,y,z) = sin(x+y+z) sur V = [0,Pi/2]^3

Eléments de correction : On intègre sur un cube donc les variables donc les variables "varient" de façon indépendante : si on fixe x entre 0 et Pi/2, idem pour y et z.

Remarque : En revanche la fonction n'est pas séparable!

Appliquons le théorème de Fubini :

Si I désigne l'intégrale on a donc :

Si on intègre préalablement par rapport à x : une primitive de f est - cos(x+y+z) d'où entre les valeurs x = 0 et x = Pi/2, il reste à intégrer :

- cos(Pi/2 + y +z) + cos(y+z) = cos(y+z) + sin(y+z); soit g(y,z) cette fonction.

Si on intègre par rapport à y : une primitive de g(y,z) est :

sin(y+z)- cos(y+z)

Donc en intégrant entre 0 et Pi/2, il reste : 2 cos z

Pour finir, il reste à intégrer par rapport à z :

Intégrale (2 cos z, {z,0,Pi/2})= [2 sin z] (z entre 0 et Pi/2) = 2.

Conclusion : I = 2.