TD, n°4)c) : une récurrence

Si on dérive n fois sinus, on trouve l'expression sin(x+n pi/2) ?

Procédons par récurrence sur n.

- si n =1 : on dérive une fois sinus d'où cos x mais

cos x = sin (x+pi/2) : la formule est vraie pour n = 1.

- supposons que la dérivée n ème de sinus vaille sin (x+ n pi/2) et démontrons la formule au rang (n+1).

- en dérivant la relation précédente, on trouve d'une part la dérivée (n+1) ème de sinus et d'autre part (sin (x+n pi/2)'= cos(x+n pi/2) mais cos(x+n pi/2) = sin (x+ npi/2 + pi/2) = sin(x+ (n+1) pi/2). On a ainsi démontré la formule au rang (n+1).

Conclusion : la formule est vraie au rang 1 et dès qu'elle est vraie au rang n elle l'est au rang suivant. Donc elle est vraie pour tout entier. La dérivée n ème de sinus a pour expression : sin(x+n pi/2).

Complément : procédez de même pour déterminer la dérivée n ème de cosinus.