Exercice : Trouver la dérivée de 1/x à l'aide de la définition.
Solution :
"Bonjour,
Comme convenu je vous envoi la solution de l'exercice que vous nous
avez donner en TD qui était : (1/x)'.
J'applique la formule :
lim (f(y)-f(x))/(y-x)
= lim (1/y - 1/x)/(y-x) ( je remplace f(y) et f(x) par
leurs expressions )
y->x
= lim ((x-y)/(xy)) / (y-x) ( je réduit au même dénominateur,
au numérateur )
y->x
= lim (x-y)/xy * 1/(y-x) ( je multiplie par l'inverse )
y->x
= lim (x-y)/xy * -1/(-y+x) ( je multiplie par -1 )
y->x
= lim -1/xy ( après simplifications )
y->x
= lim -1/x² ( car y->x )
y->x
Donc (1/x)' = -1/x².
Avec x défini sur R* car x doit être différent de zéro.
Je vous adresse, monsieur, mes salutations distinguées,
Jonathan Gilbert, Groupe E."
Conclusion : la fonction est dérivable sur R* et (1/x)' = - 1/x^2.
