Exercice (Extrait du TD n°5, Exercice n°5)
Soit z = Exp (2j Pi/7) [Il y avait une coquille dans le texte]. Soit
A = z+ z^2+z^4 et B = z^3+z^5+z^6
Calculer A + B, puis AB. Montrer que A = conjugué de B et Im (A) >=0. En déduire A et B.
Indications de correction :
A+B = (1-z^7)/(1-z) - 1 [Somme des termes d'une suite géométrique]=-1.
AB = (en développant) = 2.
On trouve que A = conjugué de B.
Im(A) = sin(2Pi/7) + sin(4 pi/7) + sin(8 Pi/7) = sin(2 Pi/7) -sin (Pi/7) + sin (4 Pi/7) > 0.
Connaissant A+B et AB et sachant que Im A >0, il vient que :
A= (-1+ j Racine(7))/2 et B = A= (-1- j Racine(7))/2.
Remarque géométrique : pour poisitonner les points d'affixes A et B, il suffit de remarquer que ces points sont sur la droite d'équation x = -1/2 et sur le cercle de centre 0 et de rayon Racine(2). [Car A. Conjugué de A = |A]^2 = 2].
Bien à vous. NV.
