Equation avec th

Exercice Résoudre l'équation th(x) = 1/2.

Voici une solution proposée par Nassim Ben Hamouda :

th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x)
th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x) = 1/2


th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 (1+e^-2x)

th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 +  1/2 e^-2x

th(x)=1 - e^-2x  -  1/2 -  1/2 e^-2x = 0

th(x)=-3/2 e^-2x  +  1/2  = 0

th(x)=-3 e^-2x  +  1  =  0

-3 e^-2x  =  1 

 e^-2x  =  -1/3 

-2x  =  ln (-1/3)

x = -1/2 ln(-1/3)

x = 1/2 ln (3)

Commentaire (NV) : il y a une erreur de signe. La chercher. D'autre part, il serait bien d'interpréter géométriquement cette résolution. Est-il "normal" de n'avoir qu'une solution ?  

Voici la rectification apportée par Mr Ben Hamouda :

"th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x)
th(x)= (1-e^-2x)/(1+e^-2x) = 1/2
>
>th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 (1+e^-2)
>
>th(x)=(1-e^-2x) = 1/2 +  1/2 e^-2x
>
>th(x)=1 - e^-2x  -  1/2 -  1/2 e^-2x = 0
>
>th(x)=-3/2 e^-2x  +  1/2  = 0
>
>th(x)=-3 e^-2x  +  1  =  0
>
>-3 e^-2x  =  -1
>
>  e^-2x  =  1/3
>
>-2x  =  ln (1/3)
>
>x = -1/2 ln(1/3)
>
>x = 1/2 ln (3)"

Commentaire : si on trace la courbe de y = th x (cf. cours) si on coupe la courbe par la droit d'équation y = 1/2. Effectivement, on "voit" qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection. C'est donc "normal" de n'avoir qu'une solution!