Encore une dérivée

Exercice : Calculer la dérivée de f définie par f(x) = ln(tan(x)) où x appartient à  I = ]0, Pi/2[.

Correction :

Justification de la dérivabilité

Déjà f est bien définie sur I et dérivable car c'est une composée de fonctions dérivables sur I. En effet : f(x) =f1(f2(x)) où f2(x) = tan(x) et f1(x) = ln(x). f2 est dérivable sur I et quand x est dans I, tan x est dans R+* or f1 est dérivable sur R*+. Donc par composition, f est dérivable sur I.

Calcul de la dérivée

[f1(f2(x))]' = f1'(f2(x)) f2'(x) or f1'(x) = 1/x et f2'(x) = 1+tan(x)^2 ainsi

f(x) = (1+tan(x)^2)/tan(x) = 1/tan(x) + tan(x)