Une autre décomposition

Décomposer dans R la fraction:F(x) =x^3/(x^4-1).

Esquisse de solution :

Pas de partie entière. On factorise le dénominateur d'où :

F(x) = x^3/((x-1)(x+1)(x-j)(x+j))=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x-j)+D/(x+j).

La fraction est impaire. Or

F(-x) =-A/(x+1)-B/(x-1)-C/(x+j)-D/(x-j)

et

-F(x) = -A/(x-1)-B/(x+1)-C/(x-j)-D/(x+j).

Par identification, il vient que : A = B et C=D.

Bilan : F(x) = A/(x-1)+A/(x+1)+C/(x-j)+C/(x+j).

A? on multiplie par (x-1) et on fait tendre x vers 1 d'où :

A = 1/4.

C? on multiplie par (x-j) et on fait tendre x vers j d'où C = 1/4.

Conclusion :

F(x) = 1/4(x-1)+1/4(x+1)+1/4(x-j)+1/4(x+j).

Dans R ? Il suffit d'ajouter les deux dernières fractions d'où :

F(x) = 1/4(x-1)+1/4(x+1)+x/(2(x^2+1))