Un polynôme

Soit P(x) = x^3-(5+3j)x^2 + (6+10j)x - 8 j

a) Les zéros de P sont-ils conjugués ?

b) chercher la racine réelle de P. 

c) Achever la factorisation.

Esquisse de solution

a) NON car la polynôme n'est pas à coefficients réels.

b) Si x est réel en identifiant partie réelle et partie imaginaire, il vient que x^3-5x^2+6x = 0 et -3x^2+10x - 8 = 0. La seule solution commune est x = 2. Il suffit ensuite de diviser par x-2 d'où :

P(x) = (x-2)(x^2-3(1+j) x + 4 j).

Il suffit de chercher les racines du polynôme du second degré : on trouve que les racines sont : 1+j et 2(1+j).

Finalement la factorisation est :

P(x) =(x-2)(x-(1+j)(x-2(1+j)).