Préparation SUPELEC n°4 : Formule de Cardan

Préparation n° 4 (Samedi 24 mai)

Objectif : résoudre une équation du troisième degré ax^3+bx^2+ cx + d = 0.

Etape 1 : On " élimine " le terme en x^2 en effectuant une translation sur la variable : z = x-b/3a. On se ramène ainsi à une équation de la forme z^3 + p z + q = 0.

Etape 2 : On pose z = u + v en imposant 3uv = - p. Il en résulte le système :

u^3 +v^3 = - q et u^3 v^3 = -p^3/27. En posant U = u^3 et V = v^3 il en résulte le système :

U + V = - q et UV = -p^3/27. On cherche deux nombres U et V connaissant la somme et le produit. On sait faire et on peut trouver U et V.

(Lire ensuite la page Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan)

Application : résoudre x^3 + 3 x – 10 = 0 et x^3 + 21 x = 9 x^2 + 5