Une transformée de Fourier

Exercice 2 TD 1 [Version 2006-2007]

Soit f(x) = 1 sur ]-1,0[; f(x) = -1 sur ]0,1[; f(x) = 0 ailleurs.

Donner son graphe et calculer sa transformée de Fourier.

Eléments de correction :

On s'épargnera du graphe ici. Pour calculer la transformée. Avec la définition, il faut calculer I + J où

I = Integrale [Exp(-2j p Pi t), {t,-1,0}] et

J = Integrale [-Exp(-2j p Pi t), {t,0,1}]

Ces intégrales se calculent sans difficultés. On trouve :

I = j/ (2p Pi) - j Exp(2 j p Pi)/(2p Pi) et J = j/(2p Pi) - j Exp(-2 j p Pi)/(2p Pi).

En sommant, vient que :

I + J = j/(p Pi)  ( 1-cos(2 p Pi))

Remarque : dans mon livre "Séries, Transformations, Intégrations", Ed. ESKA, 1997, cet exercice est traité (pp.125-126) mais il convient d'apporter un rectificatif dans l'emploi de la formule d'Euler (pp.126), il faut écrire :

Exp(2 j Pi p) + exp(-2j Pi p) = 2 cos (2 p Pi). En remplaçant cos(p Pi) par cos(2 p Pi) dans les lignes suivantes, on aboutit au résultat mentionné ci-dessus.

[NV, Le Kremlin-Bicêtre, 7 septembre 2006].