Correction du devoir (Etudiants chinois)

Bonsoir;

Ci-joint des éléments de correction pour le devoir de ce matin. Bonnes vacances. Norbert Verdier.

Question 1 (Solution)

La fonction n’est définie que si x est différent de 0. Elle est dérivable sur R*. On sait que :

(u(v(x))’= u’(v(x)) v’(x). Ainsi : (ln(x²))’ = 2x/x² = 2/x avec x dans R*.

Question 2 (Solution)

Comme (sin(ax))’ = a cos(ax), il vient que F(x) = sin(3x)/3 + C. De plus F(0) = 1 = C. Donc F est définie par : F(x) = sin(3x)/3 + 1.

Question 3 (Solution)

1/(x(x+1)) est défini pour x différent de 0 et –1. Comme 1/(x(x+1) = 1/x – 1/(x+1). Ainsi :

F(x) = ln| x| - ln| x+1| + C

Comme : F(1) = 0, il vient que C = ln2.

Conclusion : F(x) = ln(2| x| /| x+1| ) avec x différent de 0 et de –1.

Question 4 (Solution)

La solution de l’équation différentielle est de la forme : y(x)=K exp(3x). Donc suivant le signe de K, c’est une fonction qui va de 0 à l’infini ou de 0 à " moins l’infini ". Les schémas 2 et 4 conviennent.

Question 5 (Solution)

Soit I cette intégrale. Une primitive de exp(-2x) est exp(-2x)/(-2) donc I = exp(-2)/(-2) + ½ = ½ (1-exp(-2)). Ce nombre représente l’aire délimité par l’axe des abscisses, la courbe d’équation y = exp(-2x) et les droites d’équations x=0 et x=1.

Question 6 (Solution)

Soit S = 1+2+3 + … + n et S = n + (n-1) + …. + 3+2+1. En sommant 2S = n(n+1) d’où S = (n(n+1))/2. Il faut résoudre : n(n+1) = 30 soit n² + n –30 = 0 soit (n-5)(n+6) = 0. Donc n = 5 ou n = -6. N = -6 est impossible car n est un entier naturel donc n= 5.