TD 3, n° 17)a) : un système

Ci-joint la correction de Julien Labiche :

"Soit ce système:
(1) {x-y+z-u=0
(2) {2x+y-z+2u=0
(3) {2y+3z+u=0

1ere étape: on élimine x
pour cela on prend (1) comme ligne pivot puis on effectue (2)-2*(1)
(1) {x-y+z-u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {2y+3z+u=0

2eme étape: on élimine y dans (3)
pour cela on effectue 3*(3)-2*(2)
(1) {x-y+z+u=0
(2) {3y-3z+4u=0
(3) {15z-5u=0

on obtient alorz u en fonction de z: u=15/5z
                                    u=3z

on remplace u dans (2) pour trouver y en fonction de z:
(2) : {3y-3z+12z=0 {y=-3z

on remplace u et y dans (1) pour trouver x
(1) : {x-(-3z)+z+3z=0 {x=-7z

donc:
{x=-7z
{y=-3z         S={(-7;-3;1;u)} et la droite passant par A(0
{u=3z                                                                    0
{z=z                                                                      0
                                                                           
0. Julien Labiche"

Commentaire (NV) : la résolution est correcte mais pas la fin. En fait, on a : x=-z, y = -3 z, z = z, u = 3z et z quelconque.

Par analogie avec ce qu'on a fait dans le plan, on peut dire que la solution est une "droite" passant par (0,0,0,0) et de "vecteur directeur" : (-1,-3,1,3). Ici évidemment on ne peut pas représenter géométriquement ce type de situation. La représentation géométrique ne peut se faire que lorsque l'on a 2 ou 3 variables.