TD 2 : 13)a) : la somme des impairs

Soit S = 1+3+...+2n-1

Méthode 1 : On reconnaît la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. En posant : u_n=2n+1, il vient du cours :

S=u_0+u_1+...u_(n-1) = n/2   (u_0+u_(n-1)) = n/2 (1 + 2n -1) = n^2

Méthode 2 : on peut "pressentir" le résultat en faisant des tests numériques. Il suffit ensuite de le démontrer par récurrence sur n.

Méthode 3 :

S = 1 +  3+ ....(2n-1)

S = (2n-1) + (2n-3) + ...+ 3 + 1 (écriture de S "dans l'autre sens").

En sommant, les termes on remarque qu'on obtient toujours 2n, cela se produit n fois d'où :

2 S = 2n^2 ainsi S = n^2

Méthode 4 :

S = 1+2 +3 + ......2n - (2+4+6+....+2n) (on rajoute et on retranche les pairs) d'où

S = 1+2+3+4+....+2n - 2(1+2+3+...+n)

Chacune des deux sommes est une des sommes classiques de la forme :

1+2+3+...+N = N(N+1)/2 d'où

S = 2n(2n+1)/2 - 2  n(n+1)/2 = n^2.

Remarque : pour d'autres exemples de suites arithmétiques et géométriques, cf. mon livre (à la bibliothèque) : "Séries, Transformations, Intégrations", Ed. ESKA, 1997, pages 17-18.