TD4, n° 5 : Un peu de trigonométrie

Vérifier que : tan a + tan b + tan c – tan a tan b tan c = sin ( a+ b+ c )/(cos a* cos b*cos c)

On sait que : tan a = sin a / cos a

D’où en développant la partie gauche de l’équation, nous avons :

(sin a / cos a) +( sin b/ cos b)+ (sin c/cos c) – ( sin a *sin b *sin c)/ (cos a* cos b* cos c)

En mettant au même dénominateur on a au dénominateur :

sin a cos b cos c + sin b cos a cos c + sinc cos a cos b - sina sin b sinc

Dans l'autre membre le dénominateur est : sin(a+b+c); il suffit dès lors de développer sin(a+b+c).

sin(a+b+c) = sin ((a+b) + c) = sin (a+b) cosc + cos(a+b) sinc

= (sina cosb + sin b cos a) cos c + (cos a cos b - sin a sin b) sinc

= sina cos b cos c + sin b cos a cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sinc

Les expressions sont bien les mêmes de part et d'autre de l'égalité!

donc :

tan a + tan b + tan c – tan a tan b tan c = sin ( a+ b+ c )/( cos a* cos b* cos c)

Ida Ahitcheme et Jeremy Paulin (avec la participation de Norbert Verdier!)

Remarque (NV) : si a + b + c = Pi on trouve que tan a + tan b + tan c – tan a tan b tan c = 0. Autrement dit , si on considère les trois angles d'un triangle : tan a + tan b + tan c = tan a tan b tan c. On peut bien sûr démonter ce dernier résultat directement! A chercher!