TDn°3: Exercice 18 : un système

TDn°3: Exercice 18_
Soit le système suivant:

x - 2y + z = a (1)

-x + y - 2z = b (2)

2x - 3y + 3z = c (3)

-3x + 2y - 7z = d (4)

Première étape : on choisit (1) comme pivot et on élimine x d'où :
x - 2y + z = a (1)

-y - z = a + b (2)

y + z = c - 2a (3)

-4y - 4z = d + 3a (4)

Deuxième étape : (2) est pivot et on élimine y, il vient :

x - 2y + z = a (1)

-y - z = a + b (2)

a + b + c - 2a = 0 (3) soit b+c = a (3)

d + 3a - 4a -4b = 0 (4) soit d = a+4b (4)

Conclusion : Le système ne peut qu'avoir des solutions si les paramètres vérifient les relations : b+c = a et d = a+4b .

Dans ce cas, on peut trouver les solutions en exprimant les variables à l'aide de l'une d'entre elle, par exemple z. Il vient :
x = -a - 3z - 2b
y = -z - a - b Interpretation
géométrique : c'est une droite passant par le point A(-a - 2b; -a - b; 0)
z = z et de vecteur
directeur /u(-3; -1; 1).


Remarque : autre solution (partielle donc incomplète)  de Guillaume Chevassus.