Exercice :
a) Soit g(x,y) = xy/(x+y). Calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elle vérifie l'équation aux dérivées partielles : (E) f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2
b) Montrer que les solutions de (E) sont obtenues en sommant g aux solutions de l'équation homogène
(E0) : f'x + f'y = 0
c) Grâce au changement de variables u = x - y et v = x montrer que (E0) est équivalente à F'v = 0 avec F(u,v) = f (x(u,v), y(u,v)). Achever la résolution de (E0) puis de (E).
Eléments de correction :
a) Elémentaire.
b) soit f une solution de (E), il vient : f'x + f'y = 1 - 2xy/(x+y)^2 de plus g vérifie aussi (E) donc
g'x + g'y = 1 - 2xy/(x+y)^2. En soustrayant, il vient f'x + f'y - (g'x + g'y ) = 0 soit
(f-g)'x + (f-g)'y = 0. Autrement dit f-g est solution de (E0). Réciproquement et pour des raisons similaires si j'ajoute g à une solution de (E0) j'obtiens bien une solution de (E). CQFD.
c) F'v = f'x x'v + f'y y'v (théorème de dérivation dans le cadre d'un changement de variables) soit :
F'v = f'x 1 + f'y 1 = f'x + f'y (car x = v d'où x'v = 1 et y = x-u = v- u d'où y'v = 1)
Donc (E0) est équivalente à : F'v = 0.
F'v = 0 d'où F(u,v) = a(u) donc f(x,y) = a (x-y) donc les solutions de (E) sont de la forme :
a(x-y) + xy/(x+y).
