Une équation avec des exponentielles et des logarithmes

... et voici la question mathématique de la semaine:

 soit l'équation: 2 y = Exp(x) + Exp(-x). Déterminer x.

Réponse de Christophe Lee:

2y=Exp(x)+Exp(-x)  x dans R

Exp(x)+Exp(-x)>/=2sqrt[Exp(x)•Exp(-x)]

2y>/=2sqrt[Exp(x)•Exp(-x)]=2

y>/=1

quand Exp(x)=Exp(-x), x=0

y=1 

donc quand x=0, y(min)=1

Réponse (NV):

Reprenons car c'est faux. 2 y = exp(x) + exp(-x). Posons X = exp(x). Il vient:

2y = X + 1/X soit 2yX = X^2 + 1 ou encore X^2 - 2 y X + 1 = 0. C'est une équation du deuxième degré en X.

Le discriminant vaut: 4(y^2 - 1), c'est positif car y est supérieur à 1. Donc:

X = [-2y + 2 sqrt(y^2-1)]/2 = - y + Sqrt(y^2 -1) ou encore X = y + sqrt(y^2-1).

Bilan : on a exp(x) =  - y + Sqrt(y^2 -1) ou encore exp(x) =   y + Sqrt(y^2 -1)

d'où x = ln(-y+ Sqrt(y^2-1) ou x = ln (y + Sqrt(y^2-1)