Un peu de combinatoire

Exercice (TD 2 n°22)

Soit Sn = C(n,0)+C(n,1) + ... C(n,n)

Soit S'n = C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) + ...

et S''n= C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ...

1) Calculer Sn ?

2) Combiner S'n et S''n pour retrouver Sn.

3) Quelle est la valeur de S'n-S''n ? En déduire les valeurs de S'n et S''n ?

Correction :

La formule de Newton donne :

(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1) a^(n-1)b + ..... C(n,n) b^n

1) Si a = b = 1 on retrouve Sn d'où Sn = 2^n.

2) On a Sn = S'n + S''n.

3) Si a = 1 et b = -1 dans la formule de Newton, on a que : S'n-S''n=0.

On a donc S'n+S''n = 2^n et S'n-S''n=0. En ajoutant ces deux égalités, vient que : S'n=2^(n-1). Même chose pour S''n.

Bien à vous. NV (22 septembre 2006).

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